授業科目

応用数理
Applied Mathematics 

担当者

助教   小関 祥康
後 金2

単位

2

到達目標

整数論における基本的な概念である p 進数を学ぶ。その応用として二次曲線における有理数解の存在判定に関する Hasse 原理を学ぶ。

授業内容

講義の前半では主に初等的な整数論を学ぶ。これら自体は特に事前知識を必要とすることなく理解できるが、代数学の講義で学ぶ群、環、体の理論を取り入れることでより深い理解ができるようになるため、必要な部分は復習する。後半ではこの講義の主要な題材である p 進数を取り扱う。p 進数の理解には群、環、体の知識が必須である。幾何学の講義で学ぶ距離空間の概念に慣れていることがより望ましい。難しいと感じる部分は重点的に復習しつつ講義を進めていく。

授業計画

講義は以下のトピックを順を追って解説する。受講者の理解を助けるために、なるべく具体例を取り入れつつ講義を進めていく。これらをもう一度自分の力で解いてみたり、類題を自分で考えてみるなどすることが望ましい。
1. 導入:二次曲線の有理点
2. 合同式
3. 平方剰余記号
4. 群の準同型写像
5. 環とイデアル、準同型写像
6. 剰余環
7. Hilbert記号
8. Hilbert記号と二次曲線
9. p 進距離
10. 射影極限
11. p 進数体
12. p 進整数
13. p 進数体と指数・対数
14. 二次曲線の Hasse 原理

授業運営

講義形式による。

評価方法

小テストおよびレポートの成績等で評価を行う。
数学的概念を正確に理解し、基礎的な計算が出来れば合格とする。

オフィスアワー

講義や会議等で不在の場合もありますが、質問等には随時研究室(6号館104号室)にて対応します。

参考書

加藤和也・黒川信重・斎藤毅『数論1』[岩波書店]2000年

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