授業科目

代数学応用
Applied Algebra

担当者

教授   伊藤 博
前 火3

単位

2

到達目標

本講義の到達目標は以下の通りである:
1)体とその拡大に関する基本的な考え方を身につけること。
2)作図に関する古典的問題が体の理論の応用として解かれることを理解すること。
3)上記の事柄を学ぶ中で,ここまでに学んだ代数学の枠組みの有用性をそれぞれに感じ取ること。
なお、上記は理学部のカリキュラム・ポリシーに沿ったものである。

授業内容

体とその拡大に関する基本的概念について解説し,応用として定規とコンパスによる作図についての古典的問題にも触れる。
内容は,以下の3部からなる。
1部:複素数体の部分体に限って,体とその拡大に関する基本事項を説明する。
2部:立方体倍積問題と角の3等分の問題について説明する。
3部:一般の体とその拡大について,分離拡大・正規拡大などの基本的概念を説明する。

授業計画

各回の内容は以下のように予定しているが,受講生の理解度を見ながら重要な内容については適宜詳しく扱うので,若干の変動はあり得る。
予習としては、参考書の該当箇所に目を通すなどして、次回に扱う項目の概要を頭に入れておくこと,復習としては、毎回の講義で提出される練習問題を解いて、独力で困難がある場合には仲間や私に質問するなどして理解しておくこと。

(1部)
1.シラバスの記載事項確認/体について
2.既約多項式
3.ユークリッドの互除法
4.分母の有理化
5.体の拡大次数
(2部)
6.作図可能な数
7.倍積問題
8.角の3等分の問題
(3部)
9.一般の体について
10.体の拡大
11.分離拡大
12.正規拡大
13.有限体
14.まとめとテスト

(復習に関して)講義時のノートを整理し直し、また講義中に出された演習問題を解いてみて、理解が不十分な部分を頭の中で再確認するとよい。

(予習に関して)必要な予習は個々の学生ごとに異なるので、ここにはごく一般的な事柄のみを記す。
数学の勉強に関しては、一般に予習より復習が大事だと思う。先入観なく講義を聴いて、感心するなり疑問を抱くなり、とにかく心を動かされるのがまずは一番良いことだろう。
従って、教室では集中して話に耳を傾け、議論の流れを把握しようと努める。何が自明で何がそうでないのか、どの辺に数学者の工夫が有りそうなのかを、出来るだけ感じ分けようとする。(その中で疑問や感動があれば、それが復習の動機となる。)
しかし、そのようにしても議論の流れが見え難い場合は、予めテキストの次回に該当する部分に目を通し、話の概要を頭に入れてから出席するとより効果的であろうと思う。
また、前回までの内容が良く理解出来ていれば次回の内容が自然に見通せる場合も多いので、復習は最大の予習であるとも言える。

授業運営

基本的には講義形式で行うが,時間が許せば問題演習も行う。

評価方法

試験の成績および授業への取り組みから,数学的な概念を理解して具体例との関連も付けられるとみなせれば,合格点60点とする。さらに,発展的な問題や概念も消化できるとみなせれば、その程度に応じて加点して評価する。

オフィスアワー

木曜2限。不在の場合は,他の数理コース教員への質問も可です。

使用書

開講時に説明します。

参考書

木村俊一『ガロア理論』[共立出版]2012年
中島 匠一『代数方程式とガロア理論』[共立出版(共立叢書 現代数学の潮流)]2006年
高木貞治『代数学講義 (改訂新版)』[共立出版]1965年

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