授業科目

幾何学
Geometry 

担当者

教授   酒井 政美
前 火1/水1

単位

2

到達目標

本講義の到達目標は、受講生が、(1)いろいろな幾何学における基本的な概念や性質を学習し、(2)幾何学的なものの見方や考え方を身につけることである。集合と写像の基礎的な事柄は知っているものとする。また、線形代数で学習した行列、行列式、線形変換等も知っているものとして講義を進める。更に、代数における群の概念を知っていると「幾何学」とは何かについて理解が深まる。

授業内容

ユークリッド幾何の公準の説明から始め、相似幾何、アフィン幾何、非ユークリッド幾何、射影幾何、位相幾何の初歩について講義する。それぞれの幾何学の分野の内容は非常に広大であるため、それぞれの分野から話題を適宜選択して講義をする。
 

授業計画

 各回の講義内容は、次のように予定しているが、時間の関係で若干前後する場合もある。予習として、各回の講義内容に出てくる定義(言葉)を予め調べておくと、講義内容を理解するうえで非常に効果的である。復習としては、毎回の講義で触れられた事柄(定理等)に関係する例題や、具体例を繰り返し考えてみることが効果的である。14回の講義は以下の通りである。


1.シラバスの記載事項確認。ユークリッド空間
   ユークリッド空間における直線と平面の方程式について考える。
2.公準とユークリッド幾何
   公準の立場からユークリッド幾何を考える。
3.ユークリッド幾何における平行移動と回転
   平行移動や回転という図形の変換について調べる。
4.ユークリッド幾何における鏡映
   鏡映という図形の変換について調べる。
5.合同変換とユークリッド幾何
   合同変換で保存される幾何的性質を調べる。
6.相似幾何とアフィン幾何
   ユークリッド幾何とは少し異なる幾何を考えてみる。
7.非ユークリッド幾何
   ユークリッド幾何の第5公準を否定した幾何を考えてみる。
8.2次曲線の標準形
   楕円、放物線、双曲線について確認する。
9.2次曲線の性質
   2次曲線の焦点と接線の性質について考える。
10.2次曲線の分類
   2次曲線をどのように分類するかを考える。
11.2次曲線の作図
    与えられた方程式から2次曲線を作図してみる。
12.射影幾何と2次曲線
    射影幾何の見方から2次曲線を考えてみる。
13.位相幾何と閉曲面
    位相幾何への入り口として射影平面やクラインの壺などを紹介する。
14.臨時試験と解説・質疑応答
    講義内容の基本的事柄を理解しているか臨時試験を行い、試験後に解説・質疑応答を行う。

授業運営

 授業は講義と若干の演習から構成される。演習では講義で説明した内容を練習問題として実際に解いていき、定義や定理の理解を確かなものにする。欠席するとたちまち理解が困難になりますので、必ず出席すること。

評価方法

 授業の最終日に行う予定の臨時試験80%、平常点20%(演習問題の黒板での解答やレポート等)で評価する。いろいろな幾何学の基本的な概念に習熟し、これらの概念を用いて基本的な計算(証明)ができれば合格です。出席状況は評価の対象としない。

オフィスアワー

 水曜日の13:30以降(ただし、会議等の時間を除く)、13号館205研究室へ。オフィスアワーの時間外、また講義後でも随時対応します。研究室に不在の場合は、他の数理コース教員が対応します。

参考書

大田 春外『高校と大学を結ぶ幾何学』[日本評論社]2010

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