授業科目

集合論
Set Theory

担当者

教授   阿部 吉弘
後 月1

単位

2

到達目標

次の項目を最低限の到達目標とする。
(1)集合論で使用される記号を正しく使える。
(2)無限集合の濃度を理解する。
(3)実数の成り立ちを理解する。
(4)整列集合や選択公理といった、無限に関する概念になじむ。
(5)基本的な事実の証明ができる。

授業内容

数学的概念は集合を使って記述される。そこで、集合論の基礎的な知識に関して講義する。
まず、集合論で使用される記号と集合演算に親しむ。
無限集合の理論においては、濃度による大きさの比較が重要である。可算集合と非可算集合の別を学ぶ。
濃度と並び大切な概念として、順序型がある。順序集合、特に整列集合について詳しく学ぶ。その中で、整列可能性定理と関連する選択公理、その数学への影響について述べる。
最後に、実数の濃度に関する連続体仮説の決着の歴史でしめくくる。

授業計画

初回講義時にシラバスの記載事項について確認する。

第1回:論理記号と論理式、真理値、集合の表し方
第2回:集合演算と有限集合の要素の個数:分配則、ド・モルガンの性質他
第3回:集合族、冪集合
第4回:有理数と実数
第5回:関数、単射、全射、全単射、逆関数
第6回:無限集合の濃度、可算集合と非可算集合、対角線論法と冪集合の濃度
第7回:中間試験と解説
第8回:関係と同値類
第9回:順序集合、整列集合と帰納法
第10回:整列集合の同型定理
第11回:選択公理とツォルンの補題、整列可能性定理
第12回:選択公理と数学
第13回:中間試験と解説
第14回:連続体仮説

授業運営

講義形式で、内容の半分程は証明になる。
試験の問題も同様である。
自分で証明をフォローし、再構成できるように努めることが大切である。時間をかけて復習してください。
授業中に問題を考えてもらうことがあるが、学生間での討論を期待する。
予習は特に必要ありません。

評価方法

中間試験(2回)と期末試験を同等の割合で総合して評価する。

オフィスアワー

月曜日の13:00~13:30。13-209室に来てください。
他の時間帯も都合がつけられるかもしれませんので、メイル等で相談してください。

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