授業科目

解析
Analysis 

担当者

教授   伊藤 博
後 水2
教授   酒井 政美
後 火4
教授   本間 正明
後 水2
准教授 加藤 憲一
後 水2
助教   小関 祥康
前 金3

単位

2

到達目標

 本講義の到達目標は、受講生が、(1)定積分の定義とその意味を理解し、微分法と同様に極限・近似の概念が重要であることを知ること、(2)不定積分を利用して定積分を計算できるようになること、および(3)定積分により面積や長さの計算ができることを理解することである。

授業内容

 科学・工学では、刻一刻と変わっていく量を足し合わせたものを問題にすることが多い。また、与えられたデータから未知の関数を求める時には“微分を含んだ方程式”を解くことが多く、このとき、“微分したら f(x) になるもの”が必要になる。定積分は不定積分を使って計算できる場合が多いので、不定積分⇒定積分の順序で、その概念と性質、計算方法と応用を学ぶ。最後に、簡単な微分方程式で記述される現象を考察する。この講義では微分法の知識が必要になるので、解析Ⅰで学んだことを復習しながら進めていくことにより、積分の問題を扱っていく。授業内で演習の時間は多く取れないので、解析Ⅱ演習をあわせて受講することを強く推奨する。

授業計画

 各回の講義内容は、下記の使用書(テキスト)に沿って、次のように予定しているが、時間の関係で若干前後する場合もある。予習として、各回の講義内容に出てくる定義(言葉)を予め調べておくと、講義内容を理解するうえで非常に効果的である。復習としては、毎回の講義で触れられた定理に関係する例題や、練習問題を繰り返し計算してみることが効果的である。14回の講義は以下の通りである。
 
1.シラバスの記載事項確認。不定積分の基本公式
   微分公式から簡単に得られる不定積分の基本公式を学ぶ。
2.不定積分の置換積分と部分積分
   置換積分法と部分積分法を理解し、それらの計算法に習熟する。  
3.有理関数の不定積分
   有理関数の不定積分法を学ぶ。
4.いろいろな関数の不定積分
   不定積分を有理関数の積分に帰着させて求める。
5.定積分の定義と性質
   定積分の定義を与え、その意味と基本的性質を知る。
6.微分積分学の基本定理
   微分積分学の基本定理を証明し、その意味を理解する。
7.定積分の置換積分と部分積分
   定積分における置換積分法と部分積分法を理解し、それらの計算法に習熟する。
8.いろいろな関数の定積分
   種々の定積分の計算法を知る。
9.面積の計算
    曲線が y=f(x)、または媒介変数表示されている場合の面積計算の方法を知る。
10.極座標における面積の計算
    曲線が極方程式で与えられている場合の面積計算の方法を知る。
11.曲線の長さ
    曲線が y=f(x)、または媒介変数表示されている場合の曲線の長さの計算法を知る。
12.極座標における曲線の長さ
    曲線が極方程式で与えられている場合の曲線の長さの計算法を知る。
13.微分方程式
    変数分離型の微分方程式の解法を理解する。
14.臨時試験および解説・質疑応答
    講義内容の基本的事柄を理解しているか臨時試験を行い、試験後に解説・質疑応答を行う。

授業運営

 授業は講義と若干の演習から構成される。演習では講義で説明した内容を練習問題として実際に解いていき、定義や定理の理解を確かなものにする。欠席するとたちまち理解が困難になりますので、必ず出席すること。

評価方法

 授業の最終日に行う予定の臨時試験80%、平常点20%(演習問題の黒板での解答やレポート等)で評価する。積分法に関する定義・定理およびその意味するところが理解でき、積分法の基本的な計算ができれば合格です。出席状況は評価の対象としない。

オフィスアワー

 水曜日の13:30以降(ただし、会議等の時間を除く)、13号館205研究室へ。オフィスアワーの時間外、また講義後でも随時対応します。研究室に不在の場合は、他の数理コース教員が対応します。

使用書

長 宗雄 他『微分積分学』[東京教学社]

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