授業科目

解析
Analysis 

担当者

教授   阿部 吉弘
前 木3
教授   伊藤 博
前 火2
教授   堀口 正之
前 水2
助教   小関 祥康
前 水2
後 木1

単位

2

到達目標

 本講義の到達目標は、受講生が、(1)数列・関数の極限や近似に関する概念とそれらの計算法に慣れ親しみ、(2)関数の微分などの計算法に習熟することを通して、(3)微分法がどうして自然科学に必要不可欠な理論かを理解することである。特に、合成関数の微分法、高次導関数の計算、関数のマクローリン展開の計算とその意味を理解できるようにする。

授業内容

 17世紀にニュートンが発見した微分積分法は、科学・工学の分野で威力を発揮し、現代技術文明の基盤となっている。刻一刻と変化する運動や量を記述し、過去に遡ったり、未来を予測したりすることが、微分積分法を使う事で初めて可能となったのである。変化する量を記述するには「関数」が便利であり、速さのようなごく短い時間内の変化を扱うには「極限」の概念が必要である。この講義では、関数と極限の学習から始め、その上で「微分」=「変化率の極限」を定義して、微分の計算法やその応用について扱っていく。

授業計画

 各回の講義内容は、下記の使用書(テキスト)に沿って、次のように予定しているが、時間の関係で若干前後する場合もある。予習として、各回の講義内容に出てくる定義(言葉)を予め調べておくと、講義内容を理解するうえで非常に効果的である。復習としては、毎回の講義で触れられた定理に関係する例題や、練習問題を繰り返し計算してみることが効果的である。高校で学習済みの初等関数(三角関数、指数関数、対数関数等)について復習および確認することからはじめ、14回の講義は以下の通りである。

1.シラバスの記載事項確認。いろいろな関数
   高校で学習済みの三角関数等の初等関数を念のために復習する。
2.数列の極限
   数列の極限値の定義を与え、その基本的性質を証明する。
3.級数の収束と発散
   級数の収束・発散の判定法を学ぶ。
4.関数の極限と連続関数
   関数の極限値の定義を与え、その基本的性質を証明する。
5. 導関数と積・商の微分法
   微分係数と導関数の定義を与え、その意味について考える。
6.合成関数の微分法
   合成関数の微分法を理解し、計算法に習熟する。
7.指数関数と対数関数の導関数
   指数関数と対数関数の導関数を調べる。
8.逆関数の微分法と逆三角関数の導関数
   逆関数の微分法を理解し、逆三角関数の導関数を調べる。
9.導関数の計算法の復習と確認
   演習問題を通して、種々の導関数の計算法に習熟する。
10.高次導関数
   与えられた関数のn次導関数について調べる。
11. 関数のテイラー展開とその計算
    テイラーの定理の証明を与え、定理の意味について考える。
12.関数のマクローリン展開とその計算
    初等関数のマクローリン展開について調べる。
13.不定形の極限値、関数の極大・極小と凹凸
    ロピタルの定理および関数の極大・極小の判定法について学ぶ。
14.臨時試験および解説・質疑応答
    講義内容の基本的事柄を理解しているか臨時試験を行い、試験後に解説・質疑応答を行う。

授業運営

 授業は講義と若干の演習から構成される。演習では講義で説明した内容を練習問題として実際に解いていき、定義や定理の理解を確かなものにする。欠席するとたちまち理解が困難になりますので、必ず出席すること。

評価方法

 授業の最終日に行う予定の臨時試験80%、平常点20%(演習問題の黒板での解答やレポート等)で評価する。微分法に関する定義・定理およびその意味するところが理解でき、微分法の基本的な計算ができれば合格です。出席状況は評価の対象としない。

オフィスアワー

 各教員のオフィスアワーは、初回の講義時に連絡します。オフィスアワーの時間外、また講義後でも随時対応します。研究室に不在の場合は、他の数理コース教員が対応します。

使用書

長 宗雄 他『微分積分学』[東京教学社]

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