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 授業科目
 Course Title
統計解析特論
Statistical Analysis
 担当者
 Instructor
教授   吉田 稔  後学期 金曜日3時限
 単 位
 Credit
2

関連するディプロマポリシー Related Diploma Policy
時代の課題と社会の要請に応えた専門的知識と技能/Expert knowledge and skills to address the issues of the age and the demands of society
 
到達目標 Target to be Reached
授業の到達目標及びテーマ
離散及び連続時間確率過程の基礎についての講義とそれらの推定の基礎、さらに熱方程式などの解析学への問題への応用がテーマであり、確率論、確率解析、統計解析と関数解析との関連の理解を到達目標とする。受講者は、これらのテーマを学ぶことで、高度な理解に基づいて、確率の基本事項、統計的推測、微分・積分に関する事項を外に向けて明解に説明できる能力を獲得することを目標とする。

 
授業内容 Course Content
授業の概要
離散時間及び、連続時間マルコフ過程の講義を行い、拡散過程について解説する。その後、拡散過程の推定理論の講義を行い、そのコンピュータによる実行について解説する。最後にエルゴード理論を講義し、拡散過程と熱方程式、確率微分方程式について講義する。
 
授業計画 Course Planning
受講者は、予習として、以下に示す各回の講義項目を含む指定教科書の対応する章の内容を可能な限り理解するように努めること。その際、より基本的な数学の事項の理解が不十分であると自覚した場合は、労を惜しまず、学部で学んだ解析、線形代数の復習を行うこと。これにより、各回の講義に対する予習として、4時間以上を充てる必要がある。各回の復習は、各自が行った予習において誤った、或は、不十分な理解に留まっていた事項(証明の厳密な理解や、例題の理解)の修正に充てる必要がある。各回の講義を受講した後は、これらの修正は比較的容易なはずである。このために、復習には、最低2時間以上の時間を要する。

01.測度論的確率論の復習(集合・集合族、確率測度、ルベーグ積分)

02.確率変数列と確率過程(独立試行による確率変数族・確率過程)

03.有限マルコフ連鎖(独立でない確率変数族、条件付き確率とマルコフ推移行列)

04.離散マルコフ過程(有限状態マルコフ連鎖の拡張)

05.確率測度の拡張定理(有限から無限に移行する際に必要となる完備化の定理)

06.連続時間マルコフ過程の定義(確率測度の拡張定理に基づく無限個の確率変数列の定義)

07.連続時間マルコフ過程としてのブラウン運動過程(正規分布に従う確率変数族としてのブラウン運動過程)

08.拡散過程の定義(微分作用素としてのブラウン運動過程の生成作用素と、拡散過程の生成作用素)

09.拡散過程と偏微分方程式(熱方程式の解と、拡散過程の期待値との関係)

10.線形フィルターによる拡散過程の推定(線形確率微分方程式のデータの統計的推測)

11.非線形フィルターによる拡散過程の推定(非線形確率微分方程式のデータの確率偏微分方程式による推測)

12.伊藤の公式(確率過程における合成関数の微分公式、置換積分公式としての伊藤の公式)

13.確率微分方程式の基礎(漸化式である差分方程式の拡張としての確率微分方程式)

14.エルゴード理論(データの散らばり・相関と極限の分布)
 
授業運営 Course Management
講義は、主に板書によりすすめる。 受講者は、講義中に出された課題を次回の講義までに完成させて提出する。
 
評価方法 Evaluation Method
受講者による講義中の発表(黒板を用いての説明を含む)が30%、提出課題が40%、
定期試験が30%として重みを設定し、これらを総合して成績評価を行う。

 
オフィスアワー Office Hour (s)
金曜日の昼休み、及び、金曜5限に23号館427研究室にて。
 
使用書 Textbook (s)
成田清正『確率解析への誘い』[共立出版]

参考書 Book (s) for Reference
伊藤清『確率論』[岩波書店(岩波基礎数学)]

 
 
 
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