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 授業科目
 Course Title
統計数学特論
Mathematical Statistics
 担当者
 Instructor
教授   吉田 稔  前学期 木曜日5時限
 単 位
 Credit
2

関連するディプロマポリシー Related Diploma Policy
時代の課題と社会の要請に応えた専門的知識と技能/Expert knowledge and skills to address the issues of the age and the demands of society
 
到達目標 Target to be Reached
授業の到達目標及びテーマ
測度論的確率論の基礎を確実に理解するための基本事項と、確率論の基礎および確率過程の基本事項をテーマとし、公理に基づく確率論の構造の理解を到達目標とする。上記概念の的確な理解に基づき、なぜ中高における確率・統計関連事項が組み合わせ数学(場合の数)との関連から解説が始められているのかを、受講者はより高い観点で理解し、その結果として確率とその基本的法則を明確に説明できる能力を養う。

 
授業内容 Course Content
授業の概要
確率論の基礎を確実に理解するための基礎事項の講義を行う。具体的には、①確率論の数学的構造を理解することを目的として測度論及び、ルベーグ積分の基本事項を講義し、つづいて②確率測度に基づく確率論の基本事項である確率変数、期待値、特性関数の説明を行い、最後に③離散マルコフ過程と連続時間マルコフ過程の例を示す。なお、上記③の理論を具体的にコピュータシミュレーションにより実行する手法についても解説する。
 
授業計画 Course Planning
受講者は、予習として、以下に示す各回の講義項目を含む指定教科書の対応する章の内容を可能な限り理解するように努めること。その際、より基本的な数学の事項の理解が不十分であると自覚した場合は、労を惜しまず、学部で学んだ解析、線形代数の復習を行うこと。これにより、各回の講義に対する予習として、4時間以上を充てる必要がある。各回の復習は、各自が行った予習において誤った、或は、不十分な理解に留まっていた事項(証明の厳密な理解や、例題の理解)の修正に充てる必要がある。各回の講義を受講した後は、これらの修正は比較的容易なはずである。このために、復習には、最低2時間以上の時間を要する。

01.集合論の復習(集合の公理、演算、有限集合、加算無限集合、非加算無限集合と実数)

02.集合関数(写像と関数、集合の上で定義された関数)

03.有限加法族(場合の数、冪集合)

04.有限加法的測度(長方形が組み合わさった図形の面積と積分)

05.σ加法族(無限集合における部分冪集合)

06.外測度(様々な部分集合の面積)

07.σ加法的測度

08.ルベーグ測度(有理数の完備化としての実数、σ加法的測度の完備化としてのルベーグ測度)

09.可測関数と積分(リーマン積分とルベーグ積分)

10.確率変数(確率変数の定義、独立な試行と確率変数列)

11.分布関数(二項分布・正規分布の復習、多次元正規分布、確率変数の分布と合成関数)

12.期待値(分布関数の導関数としての確率密度関数、定積分と期待値)

13.特性関数 (ド・モアブルの定理の復習、無限級数と母関数、指数関数の積分としての特性関数)

14.マルコフ過程の基礎(独立な確率変数の列、条件付き確率とマルコフ過程)
 
授業運営 Course Management
講義は、主に板書によってすすめる。 受講者は、講義中に出された課題を次回の講義までに完成させて提出する。
 
評価方法 Evaluation Method
受講者による講義中の発表(黒板を用いての説明を含む)が30%、提出課題が40%、
定期試験が30%として重みを設定し、これらを総合して成績評価を行う。

 
オフィスアワー Office Hour (s)
木曜の昼休み、及び、6限に23号館427研究室にて。
 
使用書 Textbook (s)
伊藤清三『ルベーグ積分入門』[裳華房]

参考書 Book (s) for Reference
伊藤清『確率論』[岩波書店(岩波基礎数学)]

 
 
 
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