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 授業科目
 Course Title
位相幾何学特論
Topics in Topology
 担当者
 Instructor
教授   酒井 政美  前学期 木曜日1時限
 単 位
 Credit
2

到達目標 Target to be Reached
 本講義の到達目標は、受講生が、位相幾何学(トポロジー)に関する基礎概念(位相空間、同値関係、閉曲面、単体複体、重心細分等)に習熟し、閉曲面の分類定理で使用するホモロジー群の定義までを理解することである。
 
授業内容 Course Content
 位相幾何学(トポロジー)に関する基礎概念(位相空間、連続写像、商空間等)の復習から始め、具体的な閉曲面である球面、クラインの壺、射影平面等の例を通して、一般の閉曲面がどのような空間になるかを考え、閉曲面の分類定理の必要条件を証明する。ここで扱う概念は抽象的であるため、常に具体例を念頭に学修していく。
 
授業計画 Course Planning
 各回の講義内容は次のように予定しているが、時間の関係で若干前後する場合もある。予習としては、毎回の講義内容に出てくる定義(言葉)を予め調べておくと、講義内容を理解する上で非常に効果的である。復習としては、毎回の講義で出てきた事柄に関する練習問題を繰り返し考えてみることが効果的である。原則として受講生は、集合、写像、位相空間、群に関する基礎概念は知っているものとする。

1.シラバスの記載事項確認。位相空間
   位相空間の基本的事柄について復習する。
2.連続写像と同相写像
   位相空間の間の連続写像の基本的事柄について復習する。
3.コンパクト空間
   コンパクト空間の定義を確認し、基本的な事柄を復習する。
4.同値関係と商空間
   同値関係の概念を復習し、具体的な商空間について考える。
5.具体的な閉曲面
   商空間の概念を用いて、具体的な閉曲面の例を与える。
6.具体的な閉曲面の展開図
   具体的な閉曲面の展開図を調べる。
7.一般の閉曲面の定義と連結和
   閉曲面の定義を与えて、その連結和を考える。
8.具体的な閉曲面の連結和
   具体的な閉曲面に関して、連結和を構成する。
9.閉曲面の分類定理と必要条件の証明(証明の前半部分)
   閉曲面の分類定理を理解し、必要条件の証明を与える。
10.閉曲面の分類定理と必要条件の証明(証明の後半部分)
    閉曲面の分類定理の後半部分の証明を与える。
11.単体と複体
    ホモロジー群の定義を与えるために、単体と複体の定義を与える。
12.複体の重心細分
    単体の重心を定義して、重心細分の方法を学ぶ。
13.鎖群とホモロジー群
    鎖群を定義して、それを用いてホモロジー群を定義する。
14.具体的なホモロジー群の計算例
    具体的な位相空間のホモロジー群を計算してみる。
15.臨時試験(口頭試問 )及び解答・質疑応答
    講義内容の基本的事柄を理解しているか臨時試験を行い、試験後に質疑・応答を行う。









 
授業運営 Course Management
 定理の証明の一部分は講義形式であるが、他の位相幾何学(トポロジー)の基本概念に関する部分と、定理の内容を理解する部分は原則として受講生が順番に予習した内容を発表してもらい、受講生の発表で足らない部分は適宜補足説明を行っていく。
 
評価方法 Evaluation Method
 最終回の臨時試験(口頭試問)において評価する。位相幾何学特論で出てきた基礎概念を問う質問に対し、6割正しく回答できれば合格とする。出席状況は評価の対象としない。
 
オフィスアワー Office Hour (s)
 水曜日の13:30以降(会議等の時間を除く)、13号館205研究室へ。なお、質問や指摘は講義後にもその場で受け付ける。
 

参考書 Book (s) for Reference
小宮克弘『位相幾何入門』[裳華房]

 
 
 
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